El Triángulo de Sierpinski es un fractal descubierto por el matemático polaco Wacław Sierpinski en 1915. Se construye partiendo de un triángulo equilátero y siguiendo un proceso recursivo:

  1. Divide el triángulo en 4 sub-triángulos equiláteros (uniendo los puntos medios de cada lado).
  2. Elimina el triángulo central.
  3. Repite el mismo procedimiento en cada uno de los 3 sub-triángulos restantes.

En cada paso, el área se reduce porque siempre se elimina la porción central, mientras que el perímetro se incrementa, dado que cada lado se subdivide con un “zigzag”.

Área

Para un triángulo equilátero de lado s, su área inicial es:

\[ A_{0} = \frac{\sqrt{3}}{4} \, s^2 \]

Al pasar a la siguiente iteración, se conserva solo 3/4 del área previa (pues quitamos la parte central). Así, el área en la iteración n es:

\[ A(n) = A_{0} \left(\frac{3}{4}\right)^n \]

A medida que n → ∞, (3/4)^n tiende a 0, por lo que el área total tiende a cero.

Perímetro

El perímetro de un triángulo equilátero inicial es P0 = 3s. En cada iteración, cada lado se subdivide duplicando su longitud total. Por ello, en la iteración n:

\[ P(n) = P_{0} \times 2^n \]

De esta forma, el perímetro crece de manera exponencial y tiende a infinito cuando n → ∞.

Dimensión Fractal

La dimensión fractal (Hausdorff–Besicovitch) del Triángulo de Sierpinski se calcula con:

\[ D = \frac{\log(N)}{\log\left(\frac{1}{r}\right)} \]

Donde N = 3 (número de copias) y r = 1/2 (factor de escala de cada lado). Entonces:

\[ D = \frac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1.585 \]

Por ello, el fractal “ocupa” más que un objeto 1D (una línea), pero menos que una superficie totalmente 2D.

Resultados por Iteración

Iteración Área (px²) Perímetro (px)